SONAR-INFO-p59
Geometria analitica (3°)
La circonferenza con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti
1)Generalità 2)Algoritmi in V.B. per la circonfeenza con il centro sull'origine degli assi
X^2 + Y^2 = R^2
-coordinate dei punti di tangenza X1t;Y1t e X2t;Y2t ottenute dalla soluzione dei sistemi:
X^2 + Y^2 = R^2
-l'equazione della retta secante Y = m3 X + n3 per tali punti dove :
m3 = (Y2t - Y1t) / (X2t - X1t) 3)L'impiego del file eseguibile 4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo 5)Note
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già
utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di
altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione
di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa
interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati
non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico,
in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi
di geometria analitica in commercio.
Quando le coordinate del centro della circonferenza sono coincidenti con l'intersezione degli assi
cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la soluzione dei problemi tra rette e conica.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, il tracciamento di
una data circonferenza di raggio R e centro in P(Xc = 0 ; Yc = 0) e, da un punto esterno ad essa,
la costruzione delle sue tangenti e della secante per i punti di tangenza.
Il programma scrive inoltre l'equazioni delle tre rette in gioco.
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:
-equazione della circonferenza con centro all'origine degli assi: X^2 + Y^2 = R^2
-coordinate singoli punti : (Xa; Yb)
-equazione rette Y = m1 X + n1 e Y = m2 X + n2, tangenti alla circonferenza e passanti per il punto P(Xo;Yo) ottenute
ottenute dalla soluzione del sistema:
( Y - Xo ) / ( X - Xo ) = m
ed il conseguente calcolo di m1;n1 m2;n2 con gli algoritmi:
m1 = (-(2 * xo * yo) + Sqr((2 * xo * yo) ^ 2 - 4 * (r ^ 2 - xo ^ 2) * (r ^ 2 - yo ^ 2))) / (2 * (r ^ 2 - xo ^ 2))
n1 = yo - xo * m1
m2 = (-(2 * xo * yo) - Sqr((2 * xo * yo) ^ 2 - 4 * (r ^ 2 - xo ^ 2) * (r ^ 2 - yo ^ 2))) / (2 * (r ^ 2 - xo ^ 2))
n2 = yo - xo * m2
y = m1 X + n1
X^2 + Y^2 = R^2
y = m2 X + n2
pt1 =( x1t ; y1t ) e pt2 =( x2t ; y2t )
X1t = (-m1 * n1) / (m1 ^ 2 + 1)
X2t = (-m2 * n2) / (m2 ^ 2 + 1)
Y1t = n1 / (m1 ^ 2 + 1)
Y2t = n2 / (m2 ^ 2 + 1)
n3 = -(X1t * (Y2t - Y1t) / (X2t - X1t)) + Y1t
Il file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1,
in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 4 caselle d'immissione dati
con un pulsante d'avvio "Calcolo".
Nella casella "R" si deve digitare il valore del raggio del cerchio da tracciare.
Nelle caselle "Xo;Yo" le coordinate del punto esterno alla circonferenza
Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinchè
possa contenere il tracciato completo: circonferenza, punto esterno, tangenti e secante.
Sotto la scritta " Equazioni delle tangenti e della secante" vengono presentate in
forma esplicita le tre equazioni calcolate.
Sono inoltre presentate in forma numerica le coordinate dei punti caratteristici: X1t;Y1t e X2t;Y2t
In questo paragrafo viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata
sul file eseguibile (eserc.CoT) .
La soluzione del problema classico, sulla circonferenza e le rette tangenti, viene sviluppato in
una frazione di minuto quando, altrimenti, il tempo di sviluppo potrebbe richidere molto più lavoro.
Se ipotizziamo la ricerca delle tangenti ad una circonferenza di raggio R = 5.4, passanti per
il punto
Po (Xo = -3.7) e (Yo = 7.2), una volta inseriti i dati nelle apposite caselle della
schermata di (eserc.CP), con valore di fondo scala uguale a 10, otteniamo i seguenti dati come
mostrato in figura 2:
-tangente gialla: Y = 3.83 X + 21.36
-tangente blu: Y = -0.38 X + 5.78
-secante rossa: 0.51 X + 4.05
-coordinate punti di tangenza X1t = -5.22; Y1t = 1.37; X2t = 1.93; Y2t = 5.04
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego
di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale
del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico
con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o
irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.
-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che
qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo
noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.