SONAR-INFO-p210




Sulle applicazioni della legge di Snell in acustica subacquea


1) GeneralitÓ

Tutte le pagine del sito che trattano della propagazione anomala del suono in mare, si vedano p24; p26; p28; p30; p162, hanno alla base, anche se non espressamente menzionata, la legge di Snell.
Questa legge definisce il comportamento di un raggio acustico quando, nel suo percorso in mare, attraversa due zone a diversa temperatura (t1; t2) nelle quali anche la velocitÓ del suono assume due diversi valori (C1; C2).
In questa pagina esamineremo a fondo, per via matematica, la legge di Snell e le sue applicazioni.

2) La relazione tra temperatura dell'acqua e la velocitÓ del suono

Prima di proseguire nello sviluppo di questa pagina Ŕ utile evidenziare come, in base ai rilievi della temperatura in mare, si possa calcolare la velocitÓ del suono.
La relazione tra "C" in m/sec e "t" in gradi centigradi" Ŕ data da diverse formule empiriche, la formula pi¨ impiegata, dovuta a modificazioni dell'originale di Wilson, Ŕ:

C = 1410 + 4.21 t - 0.037 t2 + 1.1 S + 0,018 z    1)

dove:
C = velocitÓ de propagazione del suono espressa in metri/Secondo
t = temperatura dell'acqua in ░C
S = salinitÓ in parti/1000
z = profonditÓ zona di calcolo

In superficie per t = 13░, salinitÓ del 35 parti per mille, z = 1m, il valore di C Ŕ pari a circa 1500 m/Sec, questa Ŕ la velocitÓ del suono che generalmente viene messa a calcolo nelle computazioni relative al sonar eccezion fatta per i calcoli sulla propagazione anomala nei quali C Ŕ variabile.
Nella 1) il valore della temperatura "t" pu˛ essere computato in funzione della profonditÓ "z" una volta che sia noto il gradiente di temperatura "g" scrivendo:
t = k + g z
dove:
K = temperatura nel punto di generazione del suono ( ad esempio k = 10░)
g = gradiente di temperatura ( ad esempio - 0.1 C░/ metro)
z = profonditÓ in metri

Un esempio grafico del calcolo della 1) in funzione della profonditÓ, con sorgente acustica in superficie, Ŕ riportato in figura 1 per i seguenti valori:
-profonditÓ "z" variabile da 0 a 200 m.
-temperatura in superficie K = 20 c░
-gradiente di temperatura g = -0.1 c░ / m (gradiente negativo)
-salinitÓ = 35
-scala delle ascisse (profonditÓ) da z = 0 a z = 200 m divisa in 20 intervalli da 20 m/ div.
-scala dele ordinate (velocitÓ del suono C = f(z)) da 1400 m/Sec. a 1500 m/Sec. divisa in 10 intervalli da 10 m/Sec / div.

figura 1

Dalla curva si osserva che la variazione della velocitÓ del suono Ŕ percentualmente molto piccola ( dell'ordine dello 0.34 % ), ci˛ nonostante questa provoca tutte le problematiche relative alla propagazione anomala.
Il diagramma di figura 1 Ŕ costruito secondo le regole classiche della geometria analitica che pone in ascisse la variabile indipendente (nel nostro caso la profonditÓ "z") ed in ordinate la variabile dipendente ( in figura 1 la velocitÓ C del suono ).
Al fine di rendere pi¨ aderente alla realtÓ ambientale del problema la curva di figura 1 Ŕ generalmente tracciata con l'asse della profonditÓ in senso verticale, facendo cosý coincidere la superficie del mare
( "z" = 0 ) in alto e verso il basso i valori crescenti di profonditÓ, in queste condizioni la variabile dipendente "C" si trova in alto cosý come mostra figura 2:

figura 2

A seguito del gradiente negativo della temperatura il grafico Ŕ inclinato verso l'asse "z", gradienti di temperatura popsitivi inclinerebbero la curva dal lato opposto.
La velocitÓ di propagazione del suono, in funzione della profonditÓ, Ŕ rilevabile direttamente, senza misure di temperatura da un dispositivo detto "bativelocigrafo"; questo strumento Ŕ impiegato esclusivamente da unitÓ sommergibili ( si veda p85 ).
Dalla curva riportata in figura 2, la C = f(z), si pu˛, grazie alla legge di Snell, calcolare l'andamento di un raggio acustico definito da una funzione R = f(z; δ) come mostra indicativamente la coppia di curve riportate in figura 2/a:

figura 2a

Dalla curva di sinistra, relativa alla C = f(z) calcolata in precedenza, si traccerebbe l'andamento di un raggio acustico, mostrato nella curva a destra a solo scopo indicativo, secondo la funzione R = f(z; δ) che si estende da R = 0 a R = 5000 m in dipendenza delle variabili:
ProfonditÓ z variabile da 20 a 200 m
Angolo δ governato, come vedremo, dalla legge di Snell.


3) La legge di Snell

Per ragionare sulla legge di Snell Ŕ opportuno partire da un sistema di assi cartesiani simile a quello mostrato in figura 2 nel quale una funzione del tipo C = f(z) Ŕ presentata con due soli livelli:
C1 = 1480 m / Sec tra z = 0 e z = 100 m
C2 = 1440 m/Sec tra z = 100 m e z = 200 m
come mostra la figura 3:

figura 3

Un raggio acustico che transitasse tra le due zone di figura 3 presenterebbe l'andamento di figura 4.

figura 4

Nella zona grigia della figura 4 viene evidenziato un raggio acustico di colore celeste (raggio incidente ), nella zona celeste si evidenzia, in colore rosso, la rifrazione del primo raggio cosý come mostra la spezzata.
Snell definisce le variabili in figura 4 come l'uguaglianza tra due rapporti o legge della rifrazione:

2)

dalla 2), per δ1 costante si osserva:
se C2 = C1 ; δ2 = δ1
se C2 > C1 ; δ2 > δ1
se C2 < C1 ; δ2 < δ1

La relazione tra l'angolo d'incidenza δ1 e l'angolo di rifrazione δ2 Ŕ mostrata nell'equazione 3:

3)

Il grafico riportato in figura 3 mostra la variazione della traiettoria di un raggio acustico nel passaggio tra due zone ideali a temperatura diversa; in realtÓ, generalmente, si passerÓ da un valore di temperatura ad un'altro secondo una modificazione graduale della temperatura stessa e pertanto il massimo valore dell'angolo di rifrazione sarÓ raggiunto anch'esso gradualmente come mostra la figura 5:

figura 5

Si passa quindi dalla spezzata di figura 4 ad una curva funzione della profonditÓ z e dell'angolo δ:

R = f(z ; δ)     4)

4) Sull'algoritmo base per il calcolo delle traiettorie dei raggi acustici

L'algoritmo per il calcolo delle traiettorie dei raggi acustici si sviluppa partendo dalla legge di Snell esposta nella 2) che riportiamo:

2)

Nella 1) abbiamo visto come la velocitÓ C del suono vari con la profonditÓ "z" generando la funzione
C = f(z) tracciata, con valori d'esempio, in figura 2; detta funzione pu˛ essere indicata, per semplicitÓ degli sviluppi seguenti come C(z); ci˛ premesso possiamo riscrivere la 2) sostituendo il denominatore C2 con la funzione C(z) che rappresenta un insieme di valori che C2 stesso pu˛ assumere alle diverse profonditÓ:

4)

Sviluppando la 4) per esplicitare l'angolo δ2 scriviamo:

5)

Dato che tutti gli sviluppi teorici per il calcolo ed il tracciamento dei raggi acustici si sviluppano partendo dalla Cotangente dell'angolo δ2 vediamo come determinarla con le regole della trigonometria; posto:

Cos (x) = a

si pu˛ scrivere la seguente relazione nota:

Cot(x) = a [ ( 1 - a2 ) ] -1/2    6)

in base alla 6) e alla 5) abbiamo infine la relazione base, la 7), per il complesso processo di calcolo generale delle traiettorie dei raggi acustuici in mare sviluppabile secondo la legge di Snell.

: 7)




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