SONAR-INFO-p127
Gli integrali ellittici
-Calcolo automatico del valore numerico tra i limiti d'integrazione per gli integrali definiti-
Il calcolo del valore numerico degli integrali ellittici non si presta ad essere affrontato in modo semplice; in alcuni testi di matematica applicata sono disponibili numerose tabelle con le quali è possibile ricavare il valore degli integrali definiti di I° e II° ordine con estremo superiore d'integrazione fissato in φ = π/2.
Il problema accennato è risolvibile tramite un particolare file.exe ( ELLIPTIC ) che consente il calcolo del valore numerico dell'integrale ellittico di I° o II° ordine una volta fissato l'estremo superiore d'integrazione φ e l'argomento alfa.
Nelle tabelle citate i valori numerici sono definiti con 15 cifre; per evitare tempi di cacolo improponibili per i P.C. ordinari la routine di ELLIPTIC limita il calcolo a 5 decimali.
2) Gli integrali ellittici di I° ordine
Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata:
Le variabili che governano l'integrale sono:
Limite inferiore d'integrazione li = 0
Limite superiore d'integrazione φ espresso in radianti
Variabile d'integrazione θ espressa in radianti
Argomento di calcolo alfa espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.( 3.2°)
Con il calcolatore ELLIPTIC è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di I° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore φ sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento alfa compreso tra 0 e 90°.
3) Gli integrali ellittici di II° ordine
Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata:
Le variabili che governano l'integrale sono:
Limite inferiore d'integrazione li = 0
Limite superiore d'integrazione φ espresso in radianti
Variabile d'integrazione θ espressa in radianti
Argomento di calcolo alfa espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.( 3.2° )
Con il calcolatore ELLIPTIC è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di II° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore φ sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento alfa compreso tra 0 e 90°.
4) Una tabella dei valori dell'integrale ellittico precompilata
Si mostra una tabella, del tipo già menzionato a parag.1, con la quale svolgere esercizi di comparazione tra valori precalcolati e valori computati al momento con ELLIPITC.
Come si vede la tabella è a 15 decimali ma parte da un limite d'integrazione superiore prefissato φ = π/2 e la variabilità dell'argomento alfa è di 1° sessagesimale per passo.
Questa tabella, che rappresenta uno sforzo notevole per chi è cimentato nel calcolo con mezzi non paragonabili agli attuali, può risultare utile per il controllo dei calcoli eseguti nell'ambilto delle variabili della tabella stessa, dopo di che assunta dimestichezza col calciolatore cimentarsi al computo di variabili di necessità non compresi in tabella.
5) Primo esempio d'impiego di ELLIPTIC
Una volta lanciato l'eseguibile si ha la presentazione della pagina di calcolo così come mostrato in figura 1.
figura 1Nella pagina compaiono:
-il selettore dell'integrale da calcolare; I° ordine o II° ordine
-il textbox1 per l'iserimento dell'estremo superiore d'integrazione φ espresso in radianti.
-il textbox2 per l'inserimento del valore dell'argomento alfa espresso in gradi sessagesimali.
-il pulsante di "calcolo"
-il label, blu, per l'indicazione del valore dell'integrale calcolato
Supponiamo ora di dover calcolare, a titolo d'esercizio, un valore dell'integrale di I° ordine già esposto in tabella per alfa = 5° e φ = π/2. :
-si seleziona l'ordine dell'integrale: I°
-si digita in textbox1 il valore di φ = 3.1415927/2 = 1.5707963 radianti
-si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: alfa = 5°
- si pigia il pulsante "calcolo" e si attende il risultato sul label blu.
Il valore dell'integrale così calcolato, visibile in figura 2 è:
figura 2I = 1.57379 contro il valore di tabella che, per lo stesso argomento, indica I = 1.57379 21309 24768.
Come si vede i primi 5 decimali copmputati coincidono con i primi 5 precalcolati così come previsto.
Data la complessità di elaborazione il valore dell'integrale definito non compare immediatamente nel label celeste ma necessita di un certo tempo d'attesa.
6) Secondo sempio d'impiego di ELLIPTIC
Supponiamo di dover calcolare l'integrale ellittico di II° ordine per φ = 1.6 radianti per un argomento alfa pari a 6.34°
-si seleziona l'ordine dell'integrale: II°
-si digita in textbox1 il valore di φ = 1.6 radianti
-si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: alfa = 6.34°
- si pigia il pulsante "calcolo" e si attende il risultato sul label blu.
Il valore dell'integrale così calcolato è: I = 1.59502 così come mostra la figura 3.
figura 3Questo risultato, non disponibile in tabella, pur con le limitazioni di precisione nel calcolo rappresenta un notevole contributo nella valutazione degli integrali ellittici.