SONAR-INFO-p81
Geometria analitica (14°)
Relazioni tra parabola asse orizzontale e rette
1)Generalità 2)Algoritmi in V.B. per calcolo punti di contatto tra parabola asse orizzontale e rette
-coordinate del punto esterno alla parabola appartenente alle rette tangenti : (Xo; Yo) 3)Come si presenta la schermata del file eseguibile 4)Esempio d'utilizzo del programma di calcolo 5)Note
Per venire incontro a numerose richieste per l'estensione dei file eseguibili, dei tipi già
utilizzati in p55 e p57, per la soluzione di
altri problemi di geometria analitica, si illustrano alcune routine di calcolo per la soluzione
di casi diversi che possono essere utili a chi deve cimentarsi in questa
interessante parte della matematica.
Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati
non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico,
in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi
di geometria analitica in commercio.
Le coordinate dei punti di tangenza tra parabola asse orizzontale e rette passanti per un punto si calcolano
mediante la soluzione di un sistema di secondo grado che vede coinvolte l'equazioni delle
curve.
In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, il tracciamento di
una data parabola asse orizzontale e, da un punto esterno ad essa,
la costruzione delle sue tangenti e il calcolo delle coordinate dei punti di tangenza.
Il programma scrive inoltre l'equazioni delle due rette trovate.
La soluzione del sistema menzionato presenta sensibili difficoltà di manipolazione dei dati con il
rischio di banali, ma deleteri, errori nel suo sviluppo.
Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere i problemi
relativi alla parabola con estrema rapidità e sicurezza dei risultati.
La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento
al sistema delle due equazioni sotto riportate:
a Y^2 + b Y + c - X = 0
Y = m X + n
Gli algoritmi implementati, scritti in linguaggio V.B. sono:
-coordinate dei punti di passaggio della parabola-: p1(X1; Y1) p2(X2; Y1) p3(X3; Y3)
-con esse la soluzione del sistema nelle incognite a; b; c:
k1 = -(Y1 ^ 2)
k2 = -(Y2 ^ 2)
k3 = -(Y3 ^ 2)
d1 = X1 * Y2 + Y1 * X3 + X2 * Y3
d2 = Y2 * X3 + X1 * Y3 + Y1 * X2
delta = d1 - d2
da1 = k1 * Y2 + k3 * Y1 + k2 * Y3
da2 = k3 * Y2 + k1 * Y3 + k2 * Y1
deltaa = da1 - da2
db1 = X1 * k2 + k1 * X3 + k3 * X2
db2 = k2 * X3 + k3 * X1 + k1 * X2
deltab = db1 - db2
dc1 = X1 * Y2 * k3 + Y1 * k2 * X3 + k1 * X2 * Y3
dc2 = k1 * Y2 * X3 + X1 * k2 * Y3 + Y1 * X2 * k3
deltac = dc1 - dc2
a11 = deltaa / delta
b11 = deltab / delta
c11 = deltac / delta
a = -(1 / a11)
b = -(b11 / a11)
c = -(c11 / a11)
-la composizione dei due rami dell'equazione della parabola:
deltap = (b ^ 2 - 4 * a * (c - X))
Y1 = (-b + Sqr(deltap)) / (2 * a)
Y2 = (-b - Sqr(deltap)) / (2 * a)
-calcolo delle rette tangenti:
k = -(2 * b + 4 * a * yo)
k1 = b ^ 2 - 4 * a * (c - xo)
m1 = 2 / (-k - Sqr(k ^ 2 - 4 * k1))
m2 = 2 / (-k + Sqr(k ^ 2 - 4 * k1))
Yr1 = m1 * X - m1 * xo + yo
Yr2 = m2 * X - m2 * xo + yo
-calcolo delle coordinate punti di tangenza:
yt1 = -(b - (1 / m1)) / (2 * a)
xt1 = (yt1 - n1) / m1
yt2 = -(b - (1 / m2)) / (2 * a)
xt2 = (yt2 - n2) / m2
La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1,
in essa s'individuano:
-il tracciato cartesiano
-la sezione per l'inserzione delle coordinate dei tre punti di passaggio della parabola
comprendente 6 TextBox
-due TextBox per l'inserzione delle coordinata Xo; Yo del punto Po appartenente alle rette
-un pulsante per la visione dei soli punti alla base del problema.
-un pulsante per il calcolo e la grafica.
-la casella per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano
-a seguito della pressione del pulsante "Traccia punti" la presentazione dei tre punti
appartenenti alla parabola (colore nero)
il punto Po delle tangenti (colore magenta)
-a seguito del calcolo compaiono le tre curve e i punti caratteristici:
la parabola asse orizzontale (traccia nera)
la retta tangente Yt1 (traccia rossa)
la retta tangente Yt2 (traccia blu)
un cerchietto rosso per il punto di tangenza Pt1
un cerchietto blu per il punto di tangenza Pt2
le coordinate dei punti di tangenza: in rosso per Pt1 ed in blu per Pt2
sotto le indicazioni relative alle curve in gioco:
i coefficienti a; b; c; della parabola
i valori di m1; n1 e m2; n2 relativi alle rette tangenti
le coordinate (xt1; yt1) e (xt2; yt2) dei punti di tangenza
In questo paragrafo sono proposti alcuni esercizi grafico numerici la cui risoluzione è basata
sul file eseguibile (eserc.Por) .
Il primo esercizio è relativo al calcolo delle equazioni di due rette, passanti per
Po (Xo = 8; Yo = 3), e tangenti ad una parabola asse orizzontale, concavità a sinistra, definita dai punti:
p1(X1 = 1; Y1 = 2) p2(X2= 3; Y1= 5) p3(X3= -4; Y3= 7)
Dopo l'inserzione dati e l'impostazione fondo scala = 10, con la pressione del pulsante "Traccia punti"
si vede che il punto Po è esterno alla parabola; condizione indispensabile per la tangenza di curve ivi passanti.
Con la pressione del pulsante calcolo si ottiene la schermata di figura 2 che indica:
-con un punto color magenta il punto Po
-con colore nero la parabola e i tre punti che la definiscono
-i coefficienti della parabola a = -.833; b = 6.5; c = -8.667
-con colori rosso e blu le due tangenti
-per le equazioni delle due tangenti:
retta rossa: m1 = -.409 n1 = 6.273
retta blu: m2 = .184 n2 = 1.531
-le coordinate dei due punti di tangenza tra le rette e la parabola
in rosso: Pt( Xt1 = 2.22 ; Yt1 = 5.37 )
in blu: Pt( Xt2 = -4.88 ; Yt2 = .63 )
Una volta presentati i dati questi possono essere cambiati e , dopo la pressione del pulsante calcolo,
ottenere una presentazione completamente diversa.
Secondo esercizio, "Po interno alla parabola", è facilmente ottenibile dal precedente
posizionando Po da :Po (Xo = 8; Yo = 3) a Po (Xo = -4; Yo = 3) lasciando inalterati i punti della parabola.
Dopo la digitazione dei dati e l'impostazione scala a : fondo scala = 10, si preme il pulsante
calcolo ottenendo la schermata nella quale si vede la parabola ed il punto magenta Po all'interno di essa; naturalmente nessuna tangente è possibile.
La situazione è evidenziata dalla scritta in rosso "punto interno -no tangenti- che compare sopra
i TextBox di Po.
Terzo esercizio relativo all'utilizzo di valori di scala adattabili alla grafica contingente.
Iniziamo ad impostare questo nuovo esercizio secondo la serie di dati sotto indicati:
Po (Xo = 55 ; Yo = 32);
parabola asse orizzontale, concavità a sinistra, definita dai punti:
p1(X1 = 28; Y1 = 39) p2(X2= 44; Y1= -86) p3(X3= 18; Y3= 49)
fondo scala = 10;
con questo valore di fondo scala nessun punto è visibile sul reticolo: per
poter visualizzare tutti i punti è necessario che il fondo scala consenta di tracciare il punto
avente, in valore assoluto, il valore più grande di coordinate, nel nostro caso il fondo scala deve essere
adattato a p2(X2= 44; Y1= -86) ponendo: fs = 100; in queste condizioni si ottiene infine la
soluzione completa del problema secondo quanto mostrato in figura 3.
Quarto esercizio relativo all'utilizzo del fondo scala per ottimizzare la visione del grafico.
Iniziamo ad impostare l' esercizio secondo la serie di dati sotto indicati:
Po (Xo = -4 ; Yo = -3); parabola asse orizzontale definita dai punti:
p1(X1 = 2; Y1 = 3) p2(X2= 6; Y1= -4) p3(X3= 4; Y3= 5)
fondo scala = 10;
Si tratta di parabola asse orizzontale che volge la concavità a destra il cui tracciato, visibile
in figura 4, pur nella correttezza della soluzione dell'esercizio non consente di vedere il punto
di tangenza pt( Xt = 22.77; Yt = -9.93 ) essendo quest'ultimo fuori dal reticolo; con un semplice
cambio di scala, portando il fondo scala da 10 a 50 anche la grafica è completa.
-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego
di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale
del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico
con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o
irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.
-Il controllo software del file eseguibile è stato eseguito al meglio; è possibile però che
qualche particolare anomalia sia sfuggita all'esame.
Si prega pertanto chi dovesse riscontrare qualche difetto nell'impiego del programma di renderlo
noto tramite " Contatti con l'autore"; si provvederà all'aggiustaggio in rete.